Gauß-Verfahren
Einleitung
Das Gauß Verfahren dient dazu ein Lineares Gleichungssystem (LGS) zu lösen.
Beim Gauß Verfahren besteht aus 2 Teilen.
Im ersten Teil wird unter den Pivot-Elementen Nullen erzeugt. Hierdurch kann im zweiten Teil Schritt für Schritt die Ergebnisse ermittelt werden.
⇨ Was ist ein LGS (Link folgt noch)
Unter Pivot-Elementen Nullen erzeugen (Teil 1)
Unter den Pivot-Elementen müssen alle Elemente zu Null werden.
Die sogenannten Ziel-Elemente.
Hierbei wird bei der ganz linken Spalte begonnen.
Für jedes Ziel- Element wird nun wie folgt vorgegangen:
Die gesamte Zeile in welcher sich das Pivot-Element befindet wird nun multipliziert mit dem Ziel-Element / Pivot-Element aber mit negativen Vorzeichen.
Anschließend wird das Ergebnis dieser Zeile mit der Zeile in welcher sich das Ziel-Element befindet addiert.
So wird automatisch das entsprechende Ziel-Element zu Null. Das Ergebnis stellt die neue Zeile des Ziel-Elements dar.
Danach wird dies für die nächste Zeile (welche ein neues Ziel-Element beinhaltet) wiederholt.
Ist dies Erfolgt wird sich um die nächste Spalte gekümmert.
Hier wird gleich vorgegangen.
Ergebnisse ermitteln (Teil 2)
Sind alle Elemente unter den Pivot-Elementen auf Null, können kann mit dem zweiten Teil der Berechnung begonnen werden.
Hier wird mit der untersten Zeile begonnen.
Es fällt auf, dass durch die Nullen hier nur noch eine Variable unbekannt ist und somit die Gleichung klassisch gelöst werden kann. Die gelöste Variable kann dann in der, höheren Zeile eingesetzt werden, wodurch ebenfalls nur noch eine Variable unbekannt bleibt.
So wird das Verfahren durchlaufen bis alle Variablen bekannt sind.
Übung als Beispiel
Das LGS wird in Matrixform dargestellt.
Gegeben ist so hier eine 2×2 Matrix.
Teil 1
Schritt 1
– Erste Zeile wird mit Multipliziert mit (-Pivot-Element/Ziel-Element)
– Zweite Zeile wird so abgeschrieben
– Beide Zeilen werden addiert
Da hier eine 2×2 Matrix vorliegt, ist die erste Spalte fertig. Somit sind alle Ziel-Elemente (Die Elemente welche zu Null werden müssen) = 0.
Teil 2